四环冻干机—真空冷冻干燥传热传质原理（六）

以往的研究大都是研究宏观参数，如压力、温度和物料的宏观尺寸等对冻干过程热传递的影响，物料微观结构的影响忽略不计或被简化，因此，只是对于均质的液态物料和结构单一固态物料比较适用。对于一般生物材料,冻干过程已干层多孔介质实际上不是均匀的，而是具有分形的特点。然而分形多孔介质中的扩散已不再满足欧式空间的Fick定律，扩散速率较欧式空间减慢了，扩散系数不是常数，与扩散距离还有关。已干层分形特征如何确定，以及怎么影响冻干过程热质传递，都是有待研究的问题。

从考虑生物材料的微观结构出发，根据已干层的显微照片分析生物材料已干层多孔介质的分形特性，确定已干层多孔介质的分形维数和谱维数，推导分形多孔介质中气体扩散方程，然后在1998年Sheehan和Liapis提出的非稳态轴对称模型的基础上建立了考虑了已干层的分形特点的生物材料冻干过程热质传递的模型，即惰性气体和水蒸气在已干层中的连续方程采用的是分形多孔介质中的扩散方程，扩散系数随已干层厚度的增加呈指数下降。为了验证模型的正确性，以螺旋藻为研究对象，用Jacquin等的方法根据螺旋藻已干层的显微照片确定螺旋藻已干层分形维数，用张东晖等人的方法求分形多孔介质的谱维数。模型的求解借助Matlab和Fluent软件，模拟了螺旋藻的冻干过程。

 2.2.3.1分型多孔介质中气体扩散方程的推导

通常流体的扩散满足Fick定律，固相中的扩散也常常沿袭流体扩散过程的处理方法。如果气体的分子直径自由程远大于微孔直径，则分子对孔壁的碰撞要比分子之间的相互碰撞频繁得多。其微孔内的扩散阻力主要来自分子对孔壁的碰撞，这就是克努森扩散，传统的冻干模型已干层中水蒸气和惰性气体的扩散都是按传统的欧氏空间的克努森扩散处理的，但对于生物材料已干层中的孔隙一般都具有分形的特征，使气体在其中的扩散也具有分形的特点，下面从确定已干层分形特征入手，来推导已干层分形多孔介质中的气体扩散方程。

 2.2.3.2已干层多孔介质结构特性

生物材料冻干过程已干层多孔介质的结构特性是影响冻干过程传热传质的很重要的一个因素。当孔隙具有分形特点时, 多孔介质中的热质传递不仅与为孔隙率有关, 还与孔隙的大小和排列有关，与孔隙的分形维数和谱维数有关。

（1）孔隙率的确定  与计算机所产生的图像不同，实验图噪声比较大，不便于直接利用软件对图像进行数字处理。在分析图像之前，需要恰当地处理图像，目的就是减少噪声，使图像主要信息表达更加清楚。利用 Matlab 图像处理把彩色图像转换为黑白图像（二值图)时，要给出黑与白的分界值， 即像素的颜色阈值，低于阈值的像素定义为白色，代表孔隙，否则为黑色，代表固体物料。转化工具为Mat-lab的im2bw命令。

图2-18为螺旋藻已干层显微照片，当颜色阈值取0.35时，图2-18对应的二值图如图2-19所示，考虑到在显微镜下观测螺旋藻已干层结构时有一定的厚度，固体物料有重叠，为了使处理的图像更接近实际结构，这里阈值取偏小值0.35。在Matlab中二值图是用1和0的逻辑矩阵存储的，0为黑, 1为白，且很容易对矩阵进行各种运算。通过统计矩 0和1的数可得螺旋藻已干层孔隙率为0.83。

(2)分形维数的确定   多孔介质孔隙分形维数的计算用常规的盒子法，即用等分的正方形网格覆盖所读人的图像，网格单元的尺度为r。然后检测每个网格单元中0和1的值，统计标记为1的单元数N(r)。N(r)和1/r分别取成对数后，在以lnN(r)为Y轴坐标，以In(l/r)为X轴的坐标上产生一个点，从两个像素开始，以一个像素为步长逐步增加，对应每一个r值，重复上述过程，得到一系列这样的点，再根据这些点拟合成一直线，其斜率即为分形维数。为了减小计算量，取图2-18—小部分进行计算,选中的小图对应的二值图2-19所示。按这种方法计算的图2-20的所示多孔介质的分形维数的结果见图2-21,图中离散点用上述方法得到, 计算中,覆盖网格分别取5X5～14X14。回归直线方程为

相关系数为0.99628，其斜率即孔隙分形维数d_f= l. 722。

(3)谱维数的确定 Anderson等通过分形网格的模拟，得到时间t内，物质粒子所访问过的不同格子数Din(t)与谱维数d存在下述关系：

根据此式，就可以计算得到分形结构的谱维数d。具体过程为从分形结构中某一孔隙格子处发出一个物质粒子，物质粒子在分形结构中的孔隙中各自随机行走，计算时采用近似的蚂蚁行走模型。如果行走到的格子以前没有访问过，那么就在独立访问过的格子数总和中加1[Din(t)=Din(t)+1]; 如果行走到的格子以前访问过，那么就在访问过的格子数总和中加 1(Null=Null+1)；如果行走碰到分形结构的边界，那么行走终止，再在上面初始处发出一个物质粒子，由于是随机行走，此粒子的行走轨迹与刚才是不同的，最后对某时刻Din(t)求平均值，得到一组[Din(t),t]对应值，取对数坐标，可以看到两者是直线关系，由式(2-91)可知，直线的斜率就是d/2。谱维数与孔隙分形维数有很大关联，孔隙分形维数越小，意味着分形结构中孔隙的比例少，相同时间内，粒子行走越狭窄，重复过的弯路越多，其所经过的不同格子数越少，那么谱维数也就相应小一些。对于孔隙分形维数相同的分形结构，如果孔隙分布排列不一样，两者之间的谱维数值一定也会有差别。

从图2-20分形多孔介质中孔隙部分任取一点，依次发出1000个物质粒子，覆盖网格重40x40,由上面的测定方法统计计算的结果见图2-22中的离散点，回归直线方程为：

直线斜率为0.67405，从而可得孔隙的谱维数d=1.348。

2.2.3.3分型多孔介质中的扩散系数

扩散系数的实质是单位时间粒子所传输的空间，在普通扩散过程中，随机行走的平均平方距离与时间成正比的关系：

式中，<r²(t)>为随机行走的平均平方距离。在分形多孔介质中，由张东晖等人的研究可知，平均平方距离和时间存在指数关系，

α被称为与分形布朗运动相关联的行走维数，Orbach等发现

由此也可看到：谱维数是分形介质静态结构和动态特性的一个中间桥梁。

在处理具有分形特征介质的扩散系数时，一般都是在普通的扩散系数上加上分形特征的修正，由张东晖等人的模拟结果可知，分形多孔介质中的扩散系数已不是常数，而是随径向距离的增大而呈指数下降：

式中，D。为欧氏空间的扩散系数；D_df为分形结构中的扩散系数；r为扩散的距离；θ为分形指数，与多孔介质分形维数d_f和谱维数d有关，由张东晖等人的推导可知θ=2(d_f-d)/d。这实际表明：在分形结构中随着扩散径向距离的增大，扩散变得越来越困难，这是由于分形结构孔隙分布的不均匀性造成的。